${\log }_{\sqrt{2}} 16 = ?$

বিস্তারিত সমাধান:

ধরি, \( \log_{\sqrt{2}} 16 = x \)

লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, এটিকে সূচকীয় আকারে প্রকাশ করলে পাই:

\( (\sqrt{2})^x = 16 \)

এখন, উভয় পক্ষের ভিত্তি একই সংখ্যায় প্রকাশ করি। আমরা জানি, \(\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}\) এবং \(16 = 2^4\)।

সুতরাং, সমীকরণটি দাঁড়ায়:

\( (2^{\frac{1}{2}})^x = 2^4 \)

\( 2^{\frac{x}{2}} = 2^4 \)

যেহেতু উভয় পক্ষের ভিত্তি একই (2), তাই তাদের সূচকগুলোও সমান হবে:

\( \frac{x}{2} = 4 \)

\( x = 4 \times 2 \)

\( x = 8 \)

অতএব, \( \log_{\sqrt{2}} 16 = 8 \)।

💡 শর্টকাট টেকনিক:

আমরা জানি, \( \log_b a = x \) এর অর্থ হলো \( b^x = a \)।

এখানে, \( b = \sqrt{2} \) এবং \( a = 16 \)।

আমরা \( 16 \) কে \(\sqrt{2}\) এর ঘাত (power) হিসেবে প্রকাশ করার চেষ্টা করব।

আমরা জানি, \( (\sqrt{2})^2 = 2 \)

এবং \( 2^4 = 16 \)

সুতরাং, \( 16 = 2^4 = ((\sqrt{2})^2)^4 = (\sqrt{2})^{2 \times 4} = (\sqrt{2})^8 \)।

যেহেতু \( (\sqrt{2})^8 = 16 \), তাহলে লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, \( \log_{\sqrt{2}} 16 = 8 \)।